Question

21．已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）

（I）求圆的方程；

（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

Answer 1

（I）解法一:设A、B两点坐标分别为(,y₁),( ,y₂),由题设知=

=,

解得y₁²=y₂²=12,

所以A(6,2),B(6,－2))或A(6,－2),B(6,2).

设圆心C的坐标为(r,0),则r=×6=4.

因此圆C的方程为(x－4)²+y²=16.                                       

解法二:设A、B两点坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),

由题设知x₁²+y₁²=x₂²+y₂².

又因为y₁²=2x₁,y₂²=2x₂,可得x₁²+2x₁=x₂²+2x₂,即(x₁－x₂)(x₁+x₂+2)=0.

由x₁＞0,x₂＞0,可知x₁=x₂,故A、B两点关于x轴对称.所以圆心C在x轴上.

设C点的坐标为(r,0),则A点坐标为(r, r),于是有(r)²=2×r,解得r=4.

所以圆C的方程为(x－4)²+y²=16.                                              

(II)解:设∠ECF=2,则

·=||·||·cos2=16cos2=32cos²－16.           

在Rt△PCE中,cos=.

由圆的几何性质,得

|PC|≤|MC|+1=7+1=8,|PC|≥|MC|－1=7－1=6.                      

所以≤cos≤.

由此可得－8≤·≤－.

故·的最大值为－,最小值为－8.