Question

【题目】已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB＝∠ADC＝90°，DC＝AB，F，M分别是线段PC，PB的中点．

（1）在线段AB上找出一点N，使得平面CMN∥平面PAD，并给出证明过程；

（2）若PA＝AB，DC＝AD，求二面角C—AF—D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）取的中点，连接，取的中点，连接，然后通过中位线，证明线线平行，进而得到线面平行，进而得到面面平行.（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，来求得面面角的余弦值.

（1）证明：取AB的中点N，连接CN,MN，取PA的中点Q,连接QM，DQ；

在中，MQAB，，而 ，故AB//CD，

故QM//DC，且QM=DC，四边形CDQM为平行四边形，CM//DQ，

又平面PAD，平面PAD， 平面PAD；

∵MNPA，平面PAD，PA平面PAD，MN//平面PAD；

因为，故平面CMN//平面PAD；

（2）由已知得：两两垂直，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，

则，，，

所以，.

设是平面的一个法向量，则

，令，得.

设是平面的一个法向量，则

，令 ，

.

又二面角为锐角，故二面角的余弦值为.