Question

【题目】随着创新驱动发展战略的不断深入实施，高新技术企业在科技创新和经济发展中的带动作用日益凸显，某能源科学技术开发中心拟投资开发某新型能源产品，估计能获得万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励议案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的.（即：设奖励方案函数模拟为时，则公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立.）

（1）现有两个奖励函数模型：（I）；（II）.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 函数（I）不符合公司要求；（II）模型符合公司要求；(2)

【解析】

(1)分别判断两个函数模型是否满足三个条件即可.

(2)由题意得函数满足三个条件，利用函数的单调性、均值不等式可求得的取值范围.

（1）对于函数模型（I）：因为，即函数（I）不符合条件③，

所以函数模型（I）不符合公司要求.

对于函数模型（II）：当时，是增函数，

且，所以恒成立.

设，因为，

所以当时，.

所以恒成立.

所以函数模型（II）符合公司要求.

（2）因为，所以函数满足条件①.

由函数满足条件②得：，所以.

由函数满足条件③得：对恒成立，

即对恒成立，因为，

当且仅当时等号成立，所以.

综上所述，实数的取值范围是.