Question

如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上且，，，是的中点，四面体的体积为.

（1）求过点P，C，B，G四点的球的表面积；

（2）求直线到平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使，若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

试题分析：（1）首先由四面体的体积可以求出高.

因为两两垂直，所以以为同一顶点的三条棱构造长方体，长方体的外接球即为过点P，C，B，G四点的球，其直径就是长方体的体对角线.

（2）由于面面，所以只需在面ABCD内过点D作交线BG的垂线，即可得PD在面PBG内的射影，从而得PD与面PBG所成的角. （3）首先假设存在，然后确定的位置，若能在上找到点使则说明这样的点F存在.与是异面的两条直线，我们通过转化，转化这相交的两条直线的垂直问题.那么如何转化？过作交GC于，则只要即可.这样确定的位置容易得多了.

试题解析：（1）由四面体的体积为.∴.

以构造长方体，外接球的直径为长方体的体对角线。

∴∴

∴                3分

（2）由

∴为等腰三角形，GE为的角平分线，作交BG的延长线于K,

∴

由平面几何知识可知： ，.设直线与平面所成角为

∴                      8分

（3）假设存在，过作交GC于，则必有.因为，且，所以，又.

∴当时满足条件                    12分

考点：1、多面体的外接球及其表面积；2、线线与平面所成的角；3、异面直线的垂直.