Question

【题目】已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．

Answer 1

【答案】.

【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．

详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：

∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），

∴a+b=﹣6，

∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，

由函数图象可知：＜c＜e2，

设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣，

显然在（，e2]上单调递增，

∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，

∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，

在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，

又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，

∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．

故答案为：2e2﹣12

点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.