Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（1）求证：DC平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦值；
（3）求二面角B－EF－A的余弦值．

Answer 1

（1）对于线面垂直的证明主要是根据线线垂直来得到线面垂直。
（2）（3）

解析（1）  试题分析：证明：在图甲中∵且 
（2）  ∴ ,
即   2分
在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥C                  D．   4分
又，∴DC⊥BC,且
∴DC平面ABC．    5分
（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点
∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，垂足为点E
∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角   7分
在图甲中，∵, ∴,
设则,,-9分
∴在Rt△FEB中，
即BF与平面ABC所成角的正弦值为．  10分
解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，
设，则，  6分
可得,,
，，

∴,   8分
设BF与平面ABC所成的角为
由（1）知DC平面ABC
∴
∴   10分
（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，
又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角   12分
在△AEB中，
∴
即所求二面角B－EF－A的余弦为．  14分
考点：垂直的证明，角的求解
点评：主要是考查了空间中垂直的证明，以及线面角和二面角的平面角的大小的求解，属于基础题。