Question

【题目】已知函数，.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，试求方程的根的个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当时，根的个数为0；当时，根的个数为1；当时，根的个数为2

【解析】

（1）直接求导得，利用导数的几何意义即可求出在处的切线方程；

（2）对任意，恒成立，转化为对任意，恒成立，构造函数，，分类讨论和的情况，利用导数研究函数的单调性、最值和解决恒成立问题，即可求出实数的取值范围；

（3）分类讨论的取值范围，由（2）得，当时，方程的根的个数为0，当时，当时，，得方程的根的个数为1；当时，根据零点存在性定理，即可判断出方程的根的个数，综合即可得出结论.

解：（1）∵，则的定义域为，

∴，∴，

∵，则切点为，

∴曲线在处的切线方程是：，

（2）∵对任意，恒成立，

∴对任意，恒成立，

即恒成立，

令，，

则，

①当时，当时，，∴在上单调递减，

∴，

∴，

②当时，当时，，∴在上单调递减，

当时，，∴在单调递增，

∴，

∴，

综上，实数的取值范围是.

（3）当时，由（2）得，方程的根的个数为0，

当时，由（2）得，当时，，

∴方程的根的个数为1，

当时，，，

，

根据零点存在性定理，在上至少存在1个零点，

又在上单调递减，

∴在在上只有1个零点，

，同理，在上只有1个零点，

∴方程的根的个数为2，

综上，当时，方程的根的个数为0；

当 时，方程的根的个数为1；

当时，方程的根的个数为2.