【题目】设函数的定义域为,其中,.
(1)若,判断的单调性;
(2)当,设函数在区间上恰有一个零点,求正数a的取值范围;
(3)当,时,证明:对于,有.
【答案】(1)见解析;(2)(3)见解析
【解析】
(1)由题意求导后,按照、分类,解出、的解集即可得解;
(2)对求导,令,求导后可得在上单调递减,按照、,结合函数单调性、零点存在性定理即可得解;
(3)令,求导后可得对,恒有,依次取,求和即可得证.
(1)时,,,
则,
①当时,,在上单调递增;
②当时,令,,(舍),
令,,,
∴函数的单调增区间为,单调减区间为;
综上,当时,在上单调递增;当时,函数的单调增区间为,单调减区间为;
(2)由题意,则,
令,,
∴在上单调递减,∴,
①若,则即,即在上单调递减,
∴,∴,不合题意;
②若,则,,
∴根椐零点存在性定理,使得,
即,使得,
当时,,在上单调递增,且,
∴,函数无零点;
当时, ,在上单调递减,
其中,
令,则,
∴在上单调递增,在上单调递减,∴,
∴,
∴,
根据零点存在性定理可得时有且仅有一个零点,符合题意;
综上:;
(3)当时,令,则
当时,恒有,即在上单调递减,
∴对恒成立.
又,,故,
即对,恒有,
在此不等式中依次取,得:
,,,
,,
将以上不等式相加得:,即.
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【题目】已知函数.
(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)若函数有两个不同的零点.
(ⅰ)求实数的取值范围;
(ⅱ)求证:.(其中为的极小值点)
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【题目】总体由编号为01,02,...,39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表(如下表)第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
60 44 66 44 21
66 06 58 05 62
61 65 54 35 02
42 35 48 96 32
14 52 41 52 48
92 66 22 15 86
96 63 75 41 99
58 42 36 72 24
A.23B.21C.35D.32
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【题目】为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效地改良玉米品种,为农民提供技术支援,现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图如图(单位:厘米),设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.
(1)求出易倒伏玉米茎高的中位数;
(2)根据茎叶图的数据,完成下面的列联表:
抗倒伏 | 易倒伏 | |
矮茎 | ||
高茎 |
(3)根据(2)中的列联表,是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?
附:,
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某校在高一年级一班至六班进行了“社团活动”满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种),从被调查的学生中随机抽取了50人,具体的调查结果如表:
班号 | 一班 | 二班 | 三班 | 四班 | 五班 | 六班 |
频数 | 4 | 5 | 11 | 8 | 10 | 12 |
满意人数 | 3 | 2 | 8 | 5 | 6 | 6 |
现从一班和二班调查对象中随机选取4人进行追踪调查,则选中的4人中恰有2人不满意的概率为___________;若将以上统计数据中学生持满意态度的频率视为概率,在高一年级全体学生中随机抽取3名学生,记其中满意的人数为X,则随机变量X的数学期望是___________
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【题目】如图,矩形ABCD中,,,是AD的中点,将沿BE翻折,记为,在翻折过程中,①点在平面BCDE的射影必在直线AC上;②记和与平面BCDE所成的角分别为,,则的最大值为0;③设二面角的平面角为,则.其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】在直角坐标系xOy上取两个定点A1(,0),A2(,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=2.
(1)求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程;
(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P,Q,过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点,若(λ>1),求证:.
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