Question

【题目】已知数列满足，其中，是不为1的常数．

（Ⅰ）证明：若是递增数列，则不可能是等差数列；

（Ⅱ）证明：若是递减的等比数列，则中的每一项都大于其后任意个项的和；

（Ⅲ）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由是递增数列，则，利用反证法假设数列是等差数列，得，解得或，可知假设不成立；（Ⅱ）由是递减数列，得

，因为数列是等比数列，所以，得，则，公比，故，由于，得

，又

，且

，故，

即，得证；（Ⅲ）由是递增数列，得，则，由，得，所以，同理，由是递减数列，得，故，所以，

累加可得.

试题解析：（Ⅰ）因为是递增数列，所以。

由于，所以。

假设数列是等差数列，那么成等差数列。

所以，因而，解得或。

由已知，当，这与是递增数列矛盾，故的值不存在。

所以数列不可能是等差数列。

（Ⅱ）因为是递减数列，所以。

因为，所以。

因为数列是等比数列，

所以，得或（舍去）。

则，公比，故。

设，那么。

因为，

所以。

因为

而，即，

所以。

即：数列中的每一项大于其后任意个项的和。

（Ⅲ）由于是递增数列，所以，

所以。 ①

因为，所以。 ②

由①②知，，因此。 ③

因为是递减数列，同理，，

故。 ④

由③④可知，。

因此

。

所以数列的通项公式为。