Question

【题目】如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）若，求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

（1）设EC与DF交于点N，连结MN，由中位线定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF；

（2）取CD中点为G，连结BG，EG，则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，从而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入体积公式即可计算出体积．

（1）证明：设与交于点，连接，

在矩形中，点为中点，

∵为的中点，∴，

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）取中点为，连接，，

平面平面，

平面平面，

平面，，

∴平面，同理平面，

∴的长即为四棱锥的高，

在梯形中，，

∴四边形是平行四边形，，

∴平面，

又∵平面，∴，

又，，

∴平面，.

注意到，

∴，，

∴.