Question

【题目】已知函数.

若曲线在处的切线斜率为0，求a的值；

(Ⅱ）若恒成立，求a的取值范围；

(Ⅲ）求证：当时，曲线 (x>0)总在曲线的上方．

Answer 1

【答案】（I）. （II）.（III）见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)利用导函数在x=0处的值等于零,可以求出a的值.

(Ⅱ).分，，三种情况讨论求的最小值即可;

(Ⅲ) 当时，构造,证明

试题解析：（I）函数的定义域为.

因为，所以.

由得.

（II）.

①当时，令得.

时，；时，.

在上单调递减，在上单调递增.

所以当时，有最小值.

“恒成立”等价于“最小值大于等于0”，即.

因为，所以.

②当时，符合题意；

③当时，取，则，不符合题意.

综上，若对恒成立，则的取值范围为.

（III）当时，令，可求.

因为，，且在上单调递增，

所以在（0，）上存在唯一的，使得，即，且

.

当变化时，与在（0，）上的情况如下：

		0
		极小

则当时，存在最小值,且.

因为，所以.

所以当时，

所以当时，曲线总在曲线的上方.