Question

【题目】已知极点与坐标原点重合，极轴与轴非负半轴重合，是曲线上任一点满足，设点的轨迹为.

（1）求曲线的平面直角坐标方程；

（2）将曲线向右平移个单位后得到曲线，设曲线与直线（为参数）相交于、两点，记点，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设点的极坐标为，可得出点的极坐标为，将点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可得出曲线的极坐标方程，再将此极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）根据平移规律得出曲线的直角坐标方程，然后将直线的参数方程化为（为参数），并将该参数方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用韦达定理可计算出的值.

（1）设，由可知点，那么.

将代入曲线，得，

则曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程，即得为所求；

（2）将曲线向右平移个单位后，得到曲线的方程为.

将直线的参数方程化为（为参数），

代入曲线的方程，整理得到，

记交点、对应的参数分别为、，那么，.

那么，为所求.