Question

【题目】（本小题满分16分）如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km， AD为4 km.，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）.设点P到边AD的距离为t（单位:km），△BEF的面积为S（单位: ）.

（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;

（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 ?并说明理由.

Answer 1

【答案】（1），定义域为，（2）不存在点

【解析】

试题分析：（1）求S关于t的函数解析式，关键在求出抛物线在点P的切线方程：先根据抛物线过点C，求出抛物线的方程为．再由得过的切线方程为，从而，，，函数的定义域（2）本题实质求△BEF面积S的值域，判断3是否为在其值域内：由得在上是增函数，在上是减函数，在上有最大值，所以不存在点，使隔离出的△面积超过3．

试题解析：

（1）如图，以为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为． 1分

设边缘线所在抛物线的方程为，

把代入，得，解得，

所以抛物线的方程为． 3分

因为， 4分

所以过的切线方程为． 5分

令，得；令，得， 7分

所以， 8分

所以，定义域为． 9分

（2）， 12分

由，得，

所以在上是增函数，在上是减函数， 14分

所以在上有最大值．

又因为，

所以不存在点，使隔离出的△面积超过3． 16分