Question

【题目】如图，在直三棱柱中， ， ，点分别为的中点.

（1）证明： 平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）连接， ，点， 分别为， 的中点，可得为 △的一条中位线， ，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用勾股定理证明，由题意以点 为坐标原点， 为轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果；

试题解析：（1）证明：连接，，点，分别为， 的中点，所以为△的一条中位线， ，

平面， 平面，

所以平面.

（2）设，则，， ，

由，得，解得，

由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，

为轴建立空间直角坐标系.

可得，，，，

故，， ， ，

设为平面的一个法向量，则

，得，同理可得平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

，

，

所以，二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.