Question

【题目】如图，已知椭圆过点，离心率为，分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记、的面积分别为、，若，求的值；

（3）记直线、的斜率分别为、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据椭圆所过点、离心率和椭圆关系可构造方程组求得结果；

（2）利用面积比可求得，根据向量坐标运算，利用点坐标表示出点坐标，代入椭圆方程可求得点坐标，进而利用两点连线斜率公式求得结果；

（3）将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用两点连线斜率公式表示出所求的后，代入韦达定理的结论，整理可得结果.

（1）设椭圆的焦距为，

椭圆过点，离心率为，，解得：，

椭圆的标准方程为：.

（2）设点、，

，，由（1）可知：，，

，即，，

，即

又在椭圆上，，解得：，

直线的斜率.

（3）由题意得：直线的方程为，

由消去得：，

，，

，

.