Question

【题目】如图1，已知等边的边长为3，点，分别是边，上的点，且，.如图2，将沿折起到的位置.

（1）求证：平面平面；

（2）给出三个条件：①；②二面角大小为；③到平面的距离为.在中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：

在线段上是否存在一点，使三棱锥的体积为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）详见解析.

【解析】

(1)由已知可推得,所以,,从而平面,进而有平面平面;

(2)若用条件①,结合(1)中,可推得平面,故可求出三棱锥的体积,所以存在点满足题目条件,此时;若用条件②,结合(1)可知,故可求出三棱锥的体积为,所以存在点满足题目条件,此时点与点重合,即;若用条件③,则可求出三棱锥的体积为,所以不存在满足题目条件的点.

(1)由已知得等边中,,,,由余弦定理得

∴,

∴,,

又∵,

∴平面,

∵平面,

∴平面平面;

(2)若用条件①,

由(1)得,又和是两条相交直线,

∴平面,

又等边的高为,

,

故三棱锥的体积为,

所以存在点满足题目条件,此时.

若用条件②二面角大小为,

由(1)得是二面角的平面角,

∴,

所以,

又等边的高为,

故三棱锥的体积为,

所以存在点满足题目条件,此时点与点重合,故.

若用条件③到平面的距离为,

由题可知,等边的高为,

则,

则三棱锥的体积为,

所以不存在满足题目条件的点.