Question

【题目】已知函数，若函数仅有个零点，则实数的取值范围为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

令，得出，令，将问题转化为直线与函数的图象有且仅有个交点，然后对与的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数的等式或不等式，即可求出实数的取值范围.

令，则，得，令，

则问题转化为直线与函数的图象有且仅有个交点，

当时，，此时函数的图象与直线只有个公共点，符合题意；

当时，，若函数的图象与直线只有个公共点，

则，如下图所示，

显然成立，下面解不等式，即，

构造函数，，，令，得.

当时，，当时，.

所以，函数在处取得最大值，即，

所以，当且时，不等式恒成立，此时，.

当时，，若函数的图象与直线有个交点，则有，

即，由上可知，（舍去）.

综上所述，.

故答案为：.