Question

【题目】已知函数（）.

（1）当时，判断的单调性；

（2）若函数无零点，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，在，上单调递减（2）

【解析】

（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点讨论导函数符号变化规律，即得函数单调性；

（2）先根据且函数无零点，得恒成立，方法一：对分类讨论并参变分离，转化为求对应函数最值，再根据导数求对应函数最值，即可得结果；方法二：转化研究单调性，对分类讨论，结合单调性确定最值，即得结果.

解：（1）当时，，

，

令得；令得或.

在上单调递增，在，上单调递减.

（2）方法一：因为 ，且函数无零点，

，成立，即恒成立，

.

①当时，恒成立，.

②当时，，令，则，

，

又在上单调递增，且时，，

令得，，

x		1
		0
	单调递减	极小值	单调递增

，.

③当时，，则.

又在上单调递增，，

令得，即，

x
		0
	单调递增	极大值	单调递减

，.

综上，.

方法二：因为，且函数无零点，

，成立，即恒成立，

恒成立，即恒成立.

而，

①当时，在，单调递减，在单调递增，

的极大值为，

恒成立，即极大值且当时，.

（i）若，且 在单调递增，

有，

此时成立.

（ii）由得，

②当时，成立.

③当时，在，单调递减，在单调递增，

的极大值为，

恒成立，即极大值且当时，.

（i）若，因为在单调递增，且，

有，

此时成立.

（ii）由得.

综上，.