Question

【题目】设是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数.若中的一个方格表的所有数的和为10的倍数，则称其为“好矩形”；若中的一个的小方格不包含于任何一个好矩形，则称其为“坏格”.求中坏格个数的最大值.

Answer 1

【答案】25

【解析】

首先用反证法证明：中坏格不多于25个.

假设结论不成立.则方格表中至多有1个小方格不是坏格.由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是坏格.

设方格表第列从上到下填的数依次为、、.

记，，其中，.

下面证明：三组数；及都是模10的完全剩余系.

事实上，假如存在、，使.则，即第1行的第列至第列组成一个好矩形，与第1行都是坏格矛盾.

又假如存在、，使.则，即第2行至第3行、第列至第列组成一个好矩形.

从而，至少有2个小方格不是坏格，矛盾.

类似地，也不存在、，使.

故 .

则，矛盾.

于是，假设不成立，即坏格不可能多于25个.

其次构造如下一个的方格表（表1），可验证每个不填10的小方格都是坏格.此时，有25个坏格.

表 1

1	1	1	2	1	1	1	1	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	10	1	1	1	1	2

综上，坏格个数的最大值是25.