Question

【题目】已知点,点是圆上的任意一点,，线段的垂直平分线与直线交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）若直线与点的轨迹相切，且与圆相交于点和，求直线和三角形的面积．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据已知，由平面几何知识可得，所以E的轨迹是以点A,C为焦点的椭圆，从而可得轨迹方程；（2）由，

得，根据判别式为零可得直线斜率，从而可得直线方程，再利用点到直线距离公式与三角形面积公式可得结果.

试题解析：（1）由题意可知

E的轨迹是以点A,C为焦点的椭圆

所以椭圆的方程 .

(2)由，

得

又 与点的轨迹相切

即， 又，所以， 的方程

圆心C到的距离由垂径定理可知，

又原点O到直线的距离

.

【方法点晴】本题主要考查定义法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题（1）就是利用方法②求得的轨迹方程的.