Question

如图，点A、B为椭圆

x2

4

+

y2

2

=1长轴的两个端点，点M为该椭圆上位于第一象限内的任意一点，直线AM、BM分别与直线l：x=2

2

相交于点P、Q．
（1）若点P、Q关于x轴对称，求点M的坐标；
（2）证明：椭圆右焦点F在以线段PQ为直径的圆上．

Answer 1

（1）由题意，a=2，∴A（2，0），B（-2，0）．
设点M的坐标为（x₀，y₀），则直线AM的方程为y=

y0

x0-2

(x-2)，
令x=2

2

，则P（2

2

，

y0

x0-2

•(2

2

-2)）．
同理，Q（（2

2

，

y0

x0+2

•(2

2

+2)）．
∵点P、Q关于x轴对称，
∴

y0

x0-2

•(2

2

-2)+

y0

x0+2

•(2

2

+2)=0，
∴x0=

2

，
代入椭圆方程，
∵点M为该椭圆上位于第一象限内的任意一点，
∴y₀=1，
∴点M的坐标为（

2

，1）；
（2）证明：∵c=

4-2

=

2

，
∴F（

2

，0)，
∴

FP

•

FQ

=2+

y0

x0-2

•

y0

x0+2

(2

2

-2)(2

2

+2)=

2(x02+2y02-4)

x02-4

，
∵

x02

4

+

y02

2

=1，
∴x02+2y02=0，
∴

FP

•

FQ

=0，
∴

FP

⊥

FQ

，
∴FP⊥FQ，
∴椭圆右焦点F在以线段PQ为直径的圆上．