Question

已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点，
（Ⅰ）若C，D的坐标分别是（0，），（0，），求|MC|·|MD|的最大值；
（Ⅱ）如图，点A的坐标为（1，0），B是圆x²+y²=1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：，，求线段QB的中点P的轨迹方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，
故设椭圆方程为（a＞b＞0），
设，
由准线方程，
由，解得a=2，c=，从而b=1，
椭圆方程为；
又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以，
从而，
当且仅当|MC|=|MD|，即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，
的最大值为4。
（Ⅱ）如图，设，
因为，
故，
，①
因为，
，
所以，②
记P点的坐标为，
因为P是BQ的中点，
所以，
由因为，
结合①，②得

，
故动点P的轨迹方程为。