Question

【题目】已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，则满足f[f（a）+ ]= 的实数a的个数为（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8

Answer 1

【答案】C
【解析】解：设t=f（a）+ ，
则条件等价为f（t）= ，
若x≤0，则﹣x≥0，
∵当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，
∴当﹣x≥0时，f（﹣x）=﹣（﹣x﹣1）2+1=﹣（x+1）2+1，
∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）=﹣（x+1）2+1=f（x），
即f（x）=﹣（x+1）2+1，x≤0，
作出函数f（x）的图象如图：
当x≥0时，由﹣（x﹣1）2+1= ，得（x﹣1）2= ，则x=1+ 或x=1﹣ ，
∵f（x）为偶函数，
∴当x＜0时，f（x）= 的解为x3=﹣1﹣ ，x4=﹣1+ ；
综上所述，f（t）= 得解为t1=1+ 或t2=1﹣ ，t3=﹣1﹣ ，t4=﹣1+ ；
由t=f（a）+ 得，
若t1=1+ ，则f（a）+ =1+ ，即f（a）= + ＞1，此时a无解，
若t2=1﹣ ，则f（a）+ =1﹣ ，即f（a）=﹣ ﹣ ∈（﹣∞，0），此时a有2个解，
若t3=﹣1﹣ ，则f（a）+ =﹣1﹣ ，即f（a）=﹣ ﹣ ∈（﹣∞，0），此时a有2个解，
若t4=﹣1+ ，则f（a）+ =﹣1+ ，即f（a）=﹣ + ∈（﹣∞，0），此时a有2个解，
故共有2+2+2=6个解．
故选：C．

利用换元法将函方程转化为f（t）= ，利用数形结合进行求解即可．