Question

【题目】已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 椭圆方程为;(2) 以线段为直径的圆恒过点.

【解析】试题分析：（1）通过椭圆的几何意义得到椭圆的方程；（2）先考虑直线的特殊情况，和轴垂直，和轴平行，通过这两种情况得到最终结果再证明一般情况. 以线段为直径的圆恒过点，转化为，通过韦达定理解决即可。

（1）椭圆方程为.

（2）当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为；

当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为.

故若存在定点，则的坐标只可能为.

下面证明为所求：

若直线的斜率不存在，上述己经证明.

若直线的斜率存在，设直线， ，

由得，

，

，

，

.

∴，即以线段为直径的圆恒过点.