Question

【题目】已知点，椭圆 的离心率为是椭圆的右焦点，直线的斜率为为坐标原点．

(1)求的方程；

(2)设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）利用离心率求出c,再由离心率求出a，结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求；（2）当l⊥x轴时不合题意，设l：y＝kx－2，联立直线与椭圆的方程，求出P、Q的横坐标，代入弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离求O到PQ的距离，带入三角形面积公式，换元后利用均值不等式求最值，从而求解．

试题解析：(1)设F(c,0)，由条件知， ，得c＝.

又，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程为.

(2)当l⊥x轴时不合题意，

故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

将y＝kx－2代入中，

得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，

由根与系数的关系得：

x1＋x2＝，x1x2＝.

从而|PQ|＝|x1－x2|＝.

又点O到直线PQ的距离d＝.

所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.

设＝t，则t>0，S△OPQ＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，

即k＝时等号成立，且满足Δ>0.

所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为. 或