Question

设函数f(x)=ax-

x2-1

，
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤f（1）；
（2）求a的取值范围，使得函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．

Answer 1

分析：（1）直接把a=2代入，在把所求不等式转化为2(x-1)≤

x2-1

，最后分两种情况分别求解即可；
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，对其函数值作差，整理后把问题转化为a＞

x1+x2

x12-1 + x22-1

恒成立，（或a＜

x1+x2

x12-1 + x22-1

恒成立），进而转化为求函数的最大最小值问题即可．

解答：解：（1）a=2时，f（x）≥f（1）可化为：2(x-1)≤

x2-1

，等价于：

x-1≥0 4(x-1)2≤x2-1

①或   

x-1＜0 x2-1≥0

②
解①得 1≤x≤

5

3

，解②得 x≤-1．
所以，原不等式的解集为  {x|1≤x≤

5

3

或x≤-1}．
（2）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，则

f(x1)-f(x2)=(ax1- x12-1 )-(ax2- x22-1 )   =a(x1-x2)-( x12-1 - x22-1 )   =a(x1-x2)- x12-x22 x12-1 + x22-1   =(x1-x2)(a- x1+x2 x12-1 + x22-1 )

要使函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数，需且只需：a＞

x1+x2

x12-1 + x22-1

恒成立，（或a＜

x1+x2

x12-1 + x22-1

恒成立）．
因此，只要求出

x1+x2

x12-1 + x22-1

在条件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下的最大、最小值即可．
为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：x₁=1，x₂→1，
容易知道，此时

x1+x2

x12-1 + x22-1

→+∞；
若考虑x₁＜x₂→+∞，则不难看出，此时

x1+x2

x12-1 + x22-1

→1，至此我们可以看出：要使得函数f（x）为单调函数，只需a≤1．
事实上，当a≤1时，由于x1+x2＞

x12-1

+

x22-1

＞0恒成立，
所以，

x1+x2

x12-1 + x22-1

＞1．所以，在条件“x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂”之下，必有：f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以，f（x）在区间[1，+∞）上单调递减．
当a＞1时，由（1）可以看出：特例a=2的情况下，存在f(1)=f(

5

3

)．
由此可以猜想：函数f（x）在区间[1，+∞）上不是单调函数．
为了说明这一点，只需找到x₁，x₂∈[1，+∞），使得f（x₁）=f（x₂）即可．
简便起见，不妨取x₁=1，此时，可求得x2=

a2+1

a2-1

＞1，也即：f(1)=f(

a2+1

a2-1

)=a，所以，f（x）在区间[1，+∞）上不是单调函数．
另解：f′(x)=a-

x

x2-1

，对x∈[1，+∞），易知：
当x→1时，

x

x2-1

→+∞；当x→+∞时，

x

x2-1

→1；
所以当x∈[1，+∞）时，

x

x2-1

＞1，
从而只须a≤1，必有f'（x）＜0，函数在x∈[1，+∞）上单调递减．

点评：本题主要考察一元二次不等式的应用以及恒成立问题．第二问难度较大，建议程度不太好的学生只研究第一问即可．