Question

【题目】已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an﹣1﹣1）an﹣2an﹣1=0（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足b1=1，b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1（n∈N*）
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和为Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 变形可得（an﹣2an﹣1）（an+1）=0， 即有an=2an﹣1或an=﹣1，
又由数列{an}各项都为正数，则有an=2an﹣1 ，
故数列{an}是首项为a1=1，公比为2的等比数列，则
由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，
当n≥2时， ，
和b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1（n∈N*）
作差得， ，整理得： ，∴ =1，∴bn=n
∴ ；bn=n，n∈N*
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
因此 ，
∴ ，
两式作差得：
【解析】（Ⅰ）推出数列{an}是等比数列，然后求解通项公式，利用作差法，然后求解{bn}的通项公式；（Ⅱ）化简通项公式，利用错位相减法求和即可．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．