Question

【题目】如图1,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图2所示的三棱锥,其中.

（1） 证明://平面;

（2） 证明:平面;

（3） 当时,求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）。

【解析】

试题分析：（1）因为三角形ABC为等边三角形，所以AB=AC，又AD=AE，所以，则DE//BC，折叠后图1中，DG//BF，GE//CF，又因为，，根据面面平行的判断定理可知，平面DGE//平面BCF，DE平面DGE，所以DE//平面BFC；（2）图1中，F为BC中点，所以BC⊥AF，BF=FC=，又因为BC=，所以BF2+FC2=BC2，则CF⊥BF，因为AFBF=F，根据线面垂直判定定理，所以CF⊥平面ABF；（3）由图4可知，AF⊥DE，所以图1中，AG⊥DG，AG⊥GE，且DGGE=G，所以AG⊥平面DGE，所以F到平面DGE的距离等于线段GF的长，又因为AD=，所以，则DE=，，所以GF=AF，又因为AF=，所以GF=，因为DE//BC，所以G为DE中点，DG=GE=DE=，又因为DE//BF，GE//CF，所以DG⊥GE，所以三角形DGE的面积为，三棱锥F-DGE的体积为。

试题解析：（1）,在折叠后的三棱锥中

也成立, ,平面,

平面,平面;

（2）在等边三角形中,是的中点,所以①,.

在三棱锥中,,②

;

（3）由（1）可知,结合（2）可得.