Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，且过点A (2，2)，椭圆的离心率为，点B为抛物线C与椭圆D的一个公共点，且.

(Ⅰ)求椭圆D的方程；

(Ⅱ)过椭圆内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆C交于M，N两点，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1+ k2=λk，求实数λ的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：(Ⅰ)由点A(2，2)在拋物线上，得所以抛物线C的方程为，其焦点F(0， )，设B(m，n)，则由抛物线的定义可得|BF| = ，解得，代入抛物线方程可得m=±,所以B(±,1)，椭圆C的离心率，所以，又点B(±,1)在椭圆上，可得的值即得椭圆D的方程；

(Ⅱ) 设直线l的方程为. 由，消元可得，根据韦达定理得，因为此等式对任意的都成立,所以，即. 由题意得点P(0，t)在椭圆内，故0≤t2<2，即0≤<2可解得实数λ的取值范围.

试题解析：

(Ⅰ)由点A(2，2)在拋物线上，得，解得

所以抛物线C的方程为，其焦点F(0， )，

设B(m，n)，则由抛物线的定义可得|BF| = ，解得，

代入抛物线方程可得m2=2n = 2,解得m=±,所以B(±,1)，

椭圆C的离心率，所以，

又点B(±,1)在椭圆上，所以，解得，

所以椭圆D的方程为.

(Ⅱ)设直线l的方程为.

由，消元可得，

设M(x1 , y1 ) , N(x2，y2)，则，

而，由，得，

因为此等式对任意的都成立,所以，即.

由题意得点P(0，t)在椭圆内，故0≤t2<2，即0≤<2，解得.