Question

【题目】已知函数.

（1）若有三个极值点，求的取值范围；

（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明： .

Answer 1

【答案】(1) 的取值范围为；(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）若有三个极值点，只需应有两个既不等于0也不等于的根；（2）恒成立即.变量分离，转化为函数最值问题.

（1），定义域为，

，∵，

只需应有两个既不等于0也不等于的根， ，

①当时， ，∴单增， 最多只有一个实根，不满足；

②当时， ，

当时， ， 单减；当时， ， 单增；

∴是的极小值，

而时， ， 时， ，

要有两根，只需，由

，又由，

反之，若且时，则， 的两根中，一个大于，另一个小于.

在定义域中，连同， 共有三个相异实根，且在三根的左右， 正负异号，它们是的三个极值点.

综上， 的取值范围为.

（2） 对恒成立，

①当或1时， 均满足；

②对恒成立对恒成立，

记， ， ， ，

欲证，

而 ，

只需证明 ，显然成立.

下证： ， ， ， ，

先证： ， ，

， .

令， ，

， ， ，∴在上单增，

∴，∴在上单增，∴，∴在上单增，

∴，即证.

要证： ， .

只需证，

，

而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.