Question

设a=（cos（x-）,sin（x-））,b=（,-）.

(1)设f(x)=a·b，试在如图的坐标系中画出函数y=f(x)在［π，π］上的简图；

(2)设方程f(x)=a在［0，π］上的三正根依次成等比数列，试求实数a的值.

Answer 1

解析：（1）a·b=cos(x-)-sin(x-)=coscos(x-)-sinsin(x-)

=cos（+x-）=cos（x+）,∴f(x)=cos（x+）.

x	-π	-		π	π	π	π	π
f(x)	0	1	0	-1	0	1	0	-1

(2)方程f(x)=a的根即为y=f(x)的图象与直线y=a交点的横坐标，如（1）简图，设三根分别为0＜x₁＜x₂＜x₃，则A（x₁,a），B（x₂,a）两点关于直线x=π对称，

    故x₁+x₂=π.而x₃-x₁=2π,∴x₂=π-x₁,x₃=2π+x₁.

    由x²₂=x₁x₃得(π-x₁)²=x₁(2π+x₁),解得x₁=π,

∴a=f(x₁)=cos(x₁+)=cosπ.