Question

【题目】椭圆H： +y2=1（a＞1），原点O到直线MN的距离为 ，其中点M（0，﹣1），点N（a，0）．
（1）求该椭圆H的离心率e；
（2）经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点， 若 = + ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线MN的方程为： + =1，即x﹣ay﹣a=0．∵ = ，解得a= ．

又b=1，则 = ．

∴该椭圆H的离心率e= = =

（2）解：由（1）可知：椭圆H的标准方程为： =1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．

∵ = + ，∴C ，由A，B，C都在椭圆上，∴ =3，① =3，② +3 =3，③，由③化简整理可得： （ ）+ （ ）+ （x1x2+3y1y2）=3，

把①②代入化简可得：x1x2+3y1y2=0，④．设直线l的方程为：x=my+ ，代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+2 my﹣1=0，∴y1+y2= ，y1y2= +3，

∴x1x2= =m2y1y2+ m（y1+y2）+2，

∴（m2+3）y1y2+ m（y1+y2）+2=0，

∴（m2+3） + m +2=0，解得m=±1．

∴直线l的方程为x=±y+ ．

当直线l的斜率为0时，其方程为：y=0，此时A（ ，0），B（﹣ ，0），不满足④，舍去．

综上可得：直线l的方程为x=±y+

【解析】（1）直线MN的方程为： + =1，即x﹣ay﹣a=0．由 = ，解得a= ．利用 ，即可的得出．H的离心率e= ．（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为： =1，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．由 = + ，可得C ，利用A，B，C都在椭圆上整理化简可得：x1x2+3y1y2=0．设直线l的方程为：x=my+ ，代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+2 my﹣1=0，利用根与系数的关系代入可得m，对直线l的斜率为0时，直接验证即可．