Question

【题目】已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是

Answer 1

【答案】
【解析】解：设正△ABC的中心为O1 ， 连结O1O、O1C、O1E、OE，
∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O1O⊥平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O⊥O1C，
∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，
∴Rt△O1OC中，O1C=
又∵E为AB的中点，∴Rt△O1EC中，O1E=O1C= ．
∴Rt△OO1E中，OE=
∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r=
可得截面面积为S=πr2= ．
故答案为： ．

设正△ABC的中心为O1 ， 连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．