Question

【题目】已知圆与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点.

（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得 (为坐标原点)，求的取值范围；

（3）设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）直线的方程为或；（2）；（3）为定值1..

【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论直线的斜率是否存在，根据垂径定理，弦心距，弦长及半径的勾股关系解得k即可求得直线方程；(2) 设点的坐标为，由题得点的坐标为，点的坐标为由可得，化简可得又点在圆上，所以转化为点p轨迹与圆B有交点即可得解（3），则，直线的方程为，令，则 ， 同理可得利用是圆上的两个动点即可得定值.

试题解析：

（1） 若直线的斜率不存在，则的方程为： ，符合题意.

若直线的斜率存在，设的方程为： ，即

∴点到直线的距离

∵直线被圆截得的弦长为，∴

∴ ，此时的方程为：

∴所求直线的方程为或

（2）设点的坐标为，由题得点的坐标为，点的坐标为

由可得，化简可得

∵点在圆上，∴，∴

∴所求的取值范围是.

（3）∵，则

∴直线的方程为

令，则 同理可得

∴

∴为定值1.