Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.

（1）求证：平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；

（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.

（1）在等腰梯形中,

点E在线段上,且,

点E为上靠近C点的四等分点,

,,,

,

点P在底面上的射影为的中点G,连接,

平面,

平面,.

又,平面,平面,

平面.

（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

由（1）易知,,,

又,,

,为等边三角形,,

则,,,,,

,,,,

设平面的法向量为,

则，即,

令,则,,,

设平面的法向量为,

则,即,

令,则,,,

设平面与平面的夹角为θ,则

二面角的余弦值为.