Question

已知（）
（1）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得在上恰有两个极值点，且满足，若存在，求实数的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）不存在，参考解析

解析试题分析：（1）由已知（），若方程有3个不同的根，则可得到或对两个方程分别讨论即可到结论.
（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得在上恰有两个极值点，通过对函数求导，判断导函数的根的情况，通过换元使得等式简洁些.要满足，由于，所以可得，通过验证根是否存在.即可得到结论.
试题解析：（1）解：由得：或
可得或且
∵方程有3个不同的根，
∴方程有两个不同的根
∴
又∵，且要保证能取到0∴即
∴．
（2）解：∵
令，设
∴
∵∴∴


∵∴，∴
∴存在，使得，另外有，使得
假设存在实数，使得在上恰有两个极值点，且满足
则存在，使得，另外有，即
∴，∴，即
即（*）
设
∴
∵∴
∴∴在上是增函数
∴
∴方程（*）无解，
即不存在实数，使得在上恰有两个极值点，且满足
考点：1.函数与x轴的交点与方程的根的问题.2.函数的极值.3.等价转化的思想.4.函数的最值问题.