Question

已知向量

a

，

b

，

x

，

y

满足

a

=2

x

-

y

，

b

=

x

+

y

且|

a

|=2，|

b

|=1，

a

⊥

b

，则向量

x

，

y

的夹角的余弦值为

-

10

10

．

Answer 1

分析：设x和y 的夹角等于 α，由条件求得

x

=

a + b

3

，

y

=

2 b - a

3

．再由|

a

|=2，|

b

|=1求出|

x

|和|

y

|的值，再由

a

•

b

=0求得

x

•

y

=-

2

9

，即

5

3

•

2 2

3

•cosα=-

2

9

，由此求得cosα的值．

解答：解：设x和y 的夹角等于 α，∵

a

=2

x

-

y

，

b

=

x

+

y

，解得

x

=

a + b

3

，

y

=

2 b - a

3

．
再由 |

a

|=2，|

b

|=1，

a

⊥

b

，可得

x

2=

a 2+  b 2+2 a • b

9

=

4 + 1 +0

9

=

5

9

，

y

2=

a 2+4 b -24 a • b

9

=

4 + 4-0

9

=

8

9

．
∴|

x

|=

5

3

，|

y

|=

2 2

3

．
再由

a

•

b

═（2

x

-

y

）•（

x

+

y

）=2

x

2-

y

2+

x

•

y

=2×

5

9

-

8

9

+

x

•

y

=0，可得

x

•

y

=-

2

9

．
即 

5

3

•

2 2

3

•cosα=-

2

9

，解得 cosα=-

10

10

，
故答案为-

10

10

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角公式，两个向量垂直的性质，属于中档题．