Question

【题目】函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数 与函数只有唯一一个交点，由于，，可知与的交点为，分别研究与的单调，根据单调得到与的大致图像，从图形上可得要使函数 与函数只有唯一一个交点，则， 即可解得实数的取值范围。

函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数 与函数只有唯一一个交点，

，，

函数 与函数唯一交点为，

又 ，且， ，

在上恒小于零，即在为单调递减函数，

又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，

可得函数 与函数的大致图像如图：

要使函数 与函数只有唯一一个交点，则，

，，

即 ，解得，

又

所以实数的范围为。

故答案选A