Question

【题目】已知函数f（x）= sin（ωx﹣ ）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为 ，当x∈[0， ]时，f（x）的最大值为1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度得到函数g（x）图象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0， ]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= sin（ωx﹣ ）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为 ，

∴ = ，可得：T=π，由 =π，可得：ω=2，

∴f（x）= sin（2x﹣ ）+b，

∵当x∈[0， ]时，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴由于y=sinx在[﹣ ， ]上单调递增，可得当2x﹣ = ，即x= 时，函数f（x）取得最大值f（ ）= sin +b，

∴ sin +b=1，解得b=﹣ ，

∴f（x）= sin（2x﹣ ）﹣

（2）解：将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度得到函数解析式为：g（x）= sin[2（x﹣ ）﹣ ]﹣ = sin（2x﹣ ）﹣ ，

∵当x∈[0， ]时，可得：2x﹣ ∈[﹣ ， ]，g（x）= sin（2x﹣ ）﹣ ∈[﹣2，1]，

∴g（x）﹣3∈[﹣5，﹣2]，g（x）+3∈[1，4]，

∵g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0， ]上恒成立，

∴m∈[﹣5，4]．

【解析】（1）由题意可求T=π，利用周期公式可求ω的值，可得解析式f（x）= sin（2x﹣ ）+b，结合范围2x﹣ ∈[﹣ ， ]，利用正弦函数的有界性解得b的值，从而可求函数f（x）的解析式．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）= sin（2x﹣ ）﹣ ，结合范围2x﹣ ∈[﹣ ， ]，可求范围g（x）= sin（2x﹣ ）﹣ ∈[﹣2，1]，结合已知可求m的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象即可以解答此题．