Question

【题目】如图甲所示，是梯形的高，，，，先将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得.

（1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由;

（2）点是线段上一动点，当直线与所成的角最小时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在点，使得平面，此时,详见解析（2）

【解析】

（1）过作交于，作交于，连接，易得平面，平面，从而得到平面平面，所以得到平面，而此时根据几何关系可以得到；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，，表示出与所成角为的余弦值，并求出最小时的值，从而得到各点坐标，再求出平面和平面的法向量，根据两个法向量之间的夹角公式，求得答案.

解:（1）存在点，使得平面，此时，理由如下:

依题，，，，

即，

所以，

因为，平面，平面，

所以平面，

所以，所以，

过作交于，作交于，连接，

因为，，

所以，

所以，

而，所以有

，平面，平面，

所以平面

，平面，平面，

所以平面

平面，，

所以平面平面，

而平面

所以平面.

故存在点，使得平面，此时

（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.

，，，，

设，

即，所以，

，

设直线与所成角为

则

令，则，

令，则，，

当时，取最大值，

此时直线与所成的角最小.此时.

所以，又因为，，

所以，，

设平面法向量分别为

则，即

取得平面的法向量为，

设平面法向量为

则，即

取得平面法向量为

所以，

由图可知，二面角为钝二面角，则其余弦值为.