Question

【题目】设，，以表示不是的因数的最小自然数，例如.若，又可作等等.如果，那么叫做的长度.对一切，，用列举法表示的长度构成的集合是______.

Answer 1

【答案】

【解析】

记的长度为Ln.

很明显，若奇数n≥3，那么f(n)＝2，因此只须讨论n为偶数的情况，

我们首先证明，对任何n≥3，f(n)＝ps，这里P是素数，s为正整数．

假若不然，若f(n)有两个不同的素因子，这时总可以将f(n)表为f(n)＝ab，其中a、b是大于1的互素的正整数．

由f的定义知，a与b都应能整除n，因(a，b)＝1，故ab也应整除n，这与f(n)＝ab矛盾．

所以f(n)＝ps．

由此可以得出以下结论：

(1)当n为大于1的奇数时，f(n)＝2，故Ln＝1；

(2)设n为大于2的偶数，如果f(n)＝奇数，那么f(f(n))＝2，这时Ln＝2；

如果f(n)＝2s，其中自然数s≥2，那么f(f(n))＝f(2s)＝3，从而f(f(f(n)))＝f(3)＝2，这时Ln＝3．

综上可得，用列举法表示的长度构成的集合是.