Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，的极大值为，无极小值；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间和极值；（2）先分离变量，转化为对应函数最值，再利用导数求对应函数最值，即得结果，（3）利用（2）得，即得，再利用放缩以及裂项相消法求和，即得结果.

解：（1）∵，其定义域为，

∴，

令，得，

令，得.

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

的极大值为，无极小值.

（2）∵，，

∴，令，

则，

令，解得.

当在内变化时，，的变化情况如下表：

	+	0	-

由表知，当时，函数有最大值，且最大值为，∴，

∴实数的取值范围为.

（3）由（2）知，，

∴，

∴.

∵

，

∴，

即.