Question

设a＞0，b＞0，连结双曲线

x2

4a2

-

y2

b2

=1与

y2

b2

-

x2

4a2

=1的四个顶点所成的四边形的面积为S₁，连结两双曲线的四个焦点所成的四边形面积为S₂，则

S2

S1

的最小值是（　　）

• A．4
• B．2
• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：根据双曲线的标准方程与基本概念，分别算出S₁、S₂关于的式子，从而得出

S2

S1

=

2(4a2+b2)

4ab

，再利用基本不等式求最值，即可得到当且仅当b=2a时

2(4a2+b2)

4ab

的最小值为2，可得答案．

解答：解：∵双曲线

x2

4a2

-

y2

b2

=1的顶点坐标为（±2a，0）；双曲线

y2

b2

-

x2

4a2

=1的顶点坐标为（0，±b）
∴由两条双曲线的四个顶点构成的四边形面积S₁=

1

2

×4a×2b=4ab
又∵双曲线

x2

4a2

-

y2

b2

=1与

y2

b2

-

x2

4a2

=1的焦点坐标分别（±

4a2+b2

，0）和（0，±

4a2+b2

）
∴由两条双曲线的四个焦点构成的四边形面积面积S₂=

1

2

×2

4a2+b2

×2

4a2+b2

=2（4a²+b²）
由此可得

S2

S1

=

2(4a2+b2)

4ab

=

2a

b

+

b

2a

≥2

2a b • b 2a

=2，当且仅当b=2a时等号成立
∴

S2

S1

的最小值是2
故选：B

点评：本题给出两个双曲线互为共轭双曲线，求以它们的四个顶点构成的四边形面积与以它们四个焦点构成的四边形面积之比的问题，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、基本不等式求最值等知识，属于中档题．