Question

函数y=f（x）的定义域为[-1，1]，图象如图所示，其反函数y=f^-1（x），则不等式[f(x)-

1

2

][f-1(x)-

1

2

]＞0的解集为

(

3

4

，1]∪[-1，0）

．

Answer 1

分析：设f（x）=kx+b，把点的坐标代入求得解析式f（x）=

1

2

x+

1

2

，由已知的不等式可得，

f(x)＞ 1 2 f-1(x)＞ 1 2

  ①，或

f(x)＜ 1 2 f-1(x)＜ 1 2

 ②，分别求出①②的解集，取并集即得所求．

解答：解：函数y=f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，因图象过点（-1，0）和（1，1），
∴0=-k+b，1=k+b，∴k=b=

1

2

，∴f（x）=

1

2

x+

1

2

．
由不等式[f(x)-

1

2

][f-1(x)-

1

2

]＞0  得，

f(x)＞ 1 2 f-1(x)＞ 1 2

  ①，或

f(x)＜ 1 2 f-1(x)＜ 1 2

 ②，
解①得  

1 2 x + 1 2 ＞ 1 2 x ＞f( 1 2 ) = 3 4 -1≤x≤1

，故  1≥x＞

3

4

．解②得 

1 2 x + 1 2 ＜ 1 2 x ＜f( 1 2 ) =  3 4 -1≤x≤1

，故 0＞x≥-1．
综上，不等式的解集为(

3

4

，1]∪[-1，0），
故答案为：(

3

4

，1]∪[-1，0）．

点评：本题考查反函数的定义，求一次函数的解析式，不等式组的解法，解不等式组是解题的难点．