Question

（2013•金华模拟）己知等差数列{a_n}，公差d＞0，前n项和为S_n，且满足a₂a₃=45，a₁+a₄=14．
（I）求数列{a_n}的通项公式及前，n项和S_n；
（II）设bn=

Sn

n+c

，若数列{b_n}也是等差数列，试确定非零常数c；并求数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差数列{a_n}的性质可得a₂+a₃=a₁+a₄=14，进而解得a₂，a₃，即可得到a₁，d，利用通项公式和前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）由数列{b_n}是等差数列，则2b₂=b₁+b₃，得出c，从而得出b_n，再利用裂项求和即可得出T_n．

解答：解：（Ⅰ）由等差数列{a_n}的性质可得a₂+a₃=a₁+a₄=14，又a₂a₃=45．
∴

a2a3=45 a2+a3=14

，解得

a2=5 a3=9

或

a2=9 a3=5

，
∵d＞0，∴

a2=9 a3=5

应舍去，
因此

a2=5 a3=9

．
∴d=a₃-a₂=4，a₁=a₂-d=5-4=1，
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3，
S_n=n+

n(n-1)

2

×4=2n²-n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=

2n2-n

n+c

，
∵数列{b_n}是等差数列，则2b₂=b₁+b₃，即2×

6

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

．
解得c=-

1

2

．
∴b_n=2n．

1

bnbn+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴T_n=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4(n+1)

．

点评：熟练掌握等差数列的性质、通项公式和前n项和公式、裂项求和是解题的关键．