Question

已知函数f(x)=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

（a≠0且a≠1）．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在(0，

6

)上单调递减，在(

6

，+∞)上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）（理）记（2）中的函数的图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
（文） 记（2）中的函数的图象为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于a≠0且a≠1，f(x)=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

=

3

a

（x+

a(a-1)

x

），由双钩函数y=x+

m

x

（m＞0）在（-∞，-

m

]，[

m

，+∞）上单调递增，在[-

m

，0），（0，

m

]单调递减，可判断f（x）在当a＜0或当a＞1时的单调区间；当0＜a＜1时，可由y=

3

a

x为R上的增函数，y=

3 (a-1)

x

为（-∞，0），（0，+∞）上的增函数，判断即可；
（2）由题意及（1）中③可知

a(a-1)

=

6

且a＞1，可解得a=3，从而可求得函数解析； 
（3）（理） 假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，可设l：y=kx（k≠0），设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，列式计算即可；
（文）先判断函数的定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再证明f（-x）=-f（x）即可．

解答：解：∵f(x)=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

=

3

a

（x+

a(a-1)

x

），
∴由双钩函数y=x+

m

x

（m＞0）在（-∞，-

m

]，[

m

，+∞）上单调递增，在[-

m

，0），（0，

m

]单调递减，可得：
①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为(-

a(a-1)

，0)及(0，

a(a-1)

)，
②当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-

a(a-1)

)及(

a(a-1)

，+∞)；
又当0＜a＜1时，y=

3

a

x为R上的增函数，y=

3 (a-1)

x

为（-∞，0），（0，+∞）上的增函数，
∴③当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞）；（6分）
（2）由题设及（1）中③知

a(a-1)

=

6

且a＞1，解得a=3，（9分）
因此函数解析式为f(x)=

3 x

3

+

2 3

x

（x≠0）．                     （10分）
（3）（理）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y=kx（k≠0），且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，列式计算即可；
设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，由此得

q+q′

2

=k

p+p′

2

，

q-q′

p-p′

=-

1

k

，
且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p′

3

+

2 3

p′

，（14分）
整理得k-

1

k

=

2

3

，解得k=

3

或k=-

3

3

，
所以存在直线y=

3

x及y=-

3

3

x为曲线C的对称轴．           （16分）
（文）该函数的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），曲线C的对称中心为（0，0），
因为对任意x∈D，f(-x)=-

3 x

a

+

3 (a-1)

-x

=-[

3 x

a

+

3 (a-1)

x

]=-f(x)，
所以该函数为奇函数，曲线C为中心对称图形．                    （10分）

点评：本题考查函数奇偶性、单调性与对称性，函数解析式的求解，（1）由实数a的不同取值，研究函数的单调区间是难点，可以利用导数研究，着重考查综合分析、综合应用的能力，属于难题．