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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．
    （1）求至少有1天需要人工降雨的概率；
    （2）求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望．
    分析：（1）先求出5天全不需要人工降雨的概率，再由间接法能求出至少有1天需要人工降雨的概率．
    （2）x的取值是0，1，2，3，4，5，分别求出P（x=4），P（x=3），p（x=2），P（x=1），P（x=0）的值，由此能求出不需要人工降雨的天数x分布列和期望．
    解答：解：（1）5天全不需要人工降雨的概率是P1=(
    1
    2
    )3(
    4
    5
    )2=
    2
    25
    ，…（2分）
    故至少有1天需要人工降雨的概率是1-p1=
    92
    100
    =
    46
    50
    =
    23
    25
    ．…（4分）
    （2）x的取值是0，1，2，3，4，5，
    由（1）知4天不需要人工降雨的概率是：
    P（x=4）=（
    1
    2
    ）3C
     
    1
    2
    •
    4
    5
    ×
    1
    5
    +C
     
    1
    3
    •（
    1
    2
    ）3（
    4
    5
    ）2=
    7
    25
    ，…（5分）
    P（x=3）=
    C
    2
    3
    （
    1
    2
    ）3（
    4
    5
    ）2+C
     
    1
    3
    （
    1
    2
    ）3C
     
    1
    2
    （
    1
    5
    ）（
    4
    5
    ）+（
    1
    2
    ）3（
    1
    5
    ）2=
    73
    200
    ，…（6分）
    2天不需要人工降雨的概率是：
    P（x=2）=C
     
    2
    3
    （
    1
    2
    ）3（
    1
    5
    ）2+C
     
    1
    3
    （
    1
    2
    ）3C
     
    1
    2
    （
    1
    5
    ）×（
    4
    5
    ）+（
    1
    2
    ）3×（
    4
    5
    ）2=
    43
    200
    ，…（7分）
    1天不需要人工降雨的概率是：P（x=1）=
    11
    200
    ，…（8分）
    0天不需要人工降雨的概率是：P（x=0）=（
    1
    2
    ）3（
    1
    5
    ）2=
    1
    200
    ，…（9分）
    不需要人工降雨的天数x分布列是：…（10分）
    x 0 1 2 3 4 5
    P
    1
    200
    11
    200
    43
    200
    73
    200
    7
    25
    2
    25
    不需要人工降雨的天数x的期望是：
    F1=0×
    1
    200
    +1×
    11
    200
    +2×
    43
    200
    +3×
    73
    200
    +4×
    7
    25
    +5×
    2
    35
    =3.1．…（12分）
    点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．
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