Question

【题目】【2018衡水金卷（三）】如图所示，在三棱锥中，平面平面， ， ， ， ．

（I）证明： 平面；

（II）若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）直线与平面所成角的正弦值为．

【解析】【试题分析】（1）用余弦定理求得，故三角形为直角三角形，即，根据面面垂直的性质定理可知平面，所以，结合可得平面.（2）过点作，垂足为，连接.易证得即为直线与平面所成的角.计算的的长度，两者相比即得到所求线面角的正弦值为

【试题解析】

（1）在中，因为， ， ，

所以由余弦定理，可知

，

所以.故，即有.

又因为平面平面，且平面平面， 平面，

所以平面.又平面，所以.

又因为， ，所以平面.

（2）过点作，垂足为，连接.

由（1），知平面， 平面，

所以.又，所以平面，

因此即为直线与平面所成的角.

又由（1）的证明，可知平面，

又平面， 平面，所以， ，

故即为二面角的平面角，即.

故在中，由，得.

在中， ，

且 .

因此在中，得，

故直线与平面所成角的正弦值为.