Question

【题目】设函数，，其中．

（1）若是关于的不等式的解，求的取值范围；

（2）求函数在上的最小值；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

（4）当时，令，试研究函数的单调性，求在该区间上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3） ；（4）在单调递减，在单调递增；最小值为，

【解析】

（1）在不等式中令，则可以得到关于的不等式，其解即为的取值范围.

（2）就是、分类讨论函数的单调性后可求在上的最小值.

（3）由可得实数的取值范围.

（4）设任意，考虑的符号后可得的单调性，从而可求的最小值.

（1）由题设有，故，故.

（2）若，

设任意的，则，

因为，故，，

所以即，所以为上的减函数，

故的最小值为.

若，则

设任意的，则，

因为，故，，

所以即，所以为上的减函数，

同理可证：为上的增函数.

所以的最小值为，

故.

（3）因为对任意的，不等式恒成立，

故.

由（2）可知：当时，由，当时，由，

所以或即（无解）或，

故.

（4）若，则，

设任意的，则，

因为，故，，

所以即，所以为上的减函数，

同理可证为上的增函数，

所以在上的最小值为．