Question

【题目】某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户时，用户要对该箱中部分产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否合格相互独立.

（1）记某一箱20件产品中恰有2件不合格品的概率为，取最大值时对应的产品为不合格品概率为，求；

（2）现从某一箱产品中抽取3件产品进行检验，以（1）中确定的作为p的值，已知每件产品的检验费用为10元，若检验出不合格品，则工厂要对每件不合格品支付30元的赔偿费用，检验费用与赔偿费用的和记为，求的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列见解析；.

【解析】

（1）根据二项分布概率公式可得，利用导数可确定单调性，从而得到最大值点；

（2）首先确定所有可能的取值和对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.

（1）件产品中恰有件不合格品的概率，

，

令，又，解得：，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

当时，取得最大值，即.

（2）由题意得：所有可能的取值为：，，，，

；；

；；

的分布列为：

数学期望.